先前說到了古人在試圖建立音階時所碰到的兩個難題，其一是畢氏音差，其二是共振音差。想要解決這兩難題的路很漫長，歷經諸多誤試及改進才終於演化成我們現代使用的音階，其中的思路演進很有趣，但是在進入瞭解這些聰明人的聰明手法之前，我們得先有一些基本知識，其中一個要點就是：描述聲音是很困難的！ 對人類來說，聲音看不見又摸不著，從來很難用言語表達。姑且先不論「音樂內涵」這種藝術性的主觀陳述，僅是想描述單音聽起來有多高的「音高」，以及兩音之間距離多遠的「音程」就都是困難的事。 以音高而言，直到有「每秒循環次數（CPS, Cycle Per Second）」的概念或者「赫茲（Hz）」這個頻率單位發明之後，人類對音高才有了比較客觀且精確的描述方式。比方說現代的標準音高A49，它被訂在440Hz，所以每個音樂家只要把自己樂器上的A調整到440Hz，就可以確保得到與別人一致的音高。 試想如果沒有Hz這個單位，我們要怎麼對別人陳述自己樂器上的A到底是多高呢？「稍微比普通女子的聲音高一些，不是尖聲聒噪的那種」、「大概是男人聲音的兩倍高又不致於刺耳」......諸如此類用語言來描述的音高當然是無效的，無論措辭多麼誠懇多麼華麗，聽者都難以複製出一模一樣的音高，即便是聽者自己以為心神領會也沒用，所以人類只能仰賴440Hz這樣的客觀描述才能得到一致的結果。 音高有Hz可用，那音程呢？我們如何描述兩個音之間的距離？ 音高我們還能找到像剛剛例子那種男聲女聲的仿似描述，音與音之間的距離就真的沒有什麼語詞可用之類比了。 在古代，科學家/音樂家用分數來描述，例如 3/4, 4/5, 2/3等等，這是很自然的，因為兩音之間的距離跟他們所產生的和諧關係有關，而他們的和諧關係是由兩音自身的泛音頻率所決定，泛音頻率又是該音基音頻率的倍數，因此兩音的距離就很容易寫成幾倍比幾倍，也就是分數、比例之類的表示法。 但寫作分數的問題是它很不直覺，很難一眼看出音程之間的大小關係或背後代表的意義，而且計算上很麻煩，讀者可以看看下面這個以分數寫成的某種音律，是不是讓人退避三舍？

圖一：以分數表示音律（製圖：鄭羽芝） 有鑑於此，在十九世紀的時候，一位名喚Ellis的聰明人，提出一種新的音程描述單位：音分值。 音分值英文寫做cent，一個cent所代表的意義是：八度音程的一千二百分之一。1200 cent等於一個八度音程。 原始的計算定義大約如下：

圖二：音分值計算式（製圖：鄭羽芝） 此算式的意義是初始頻率A乘以一個音分值一千二百次之後，會等於兩倍初始頻率，即，八度音2A，n就是我們要的音分值。從頻率A到頻率2A可以用此算式得出1200這個數字，任意給定的兩個頻率也就能用相同的方式算出代表他們之間距離的某個數字了。 這是一個劃時代的發明，它讓人們對音程的理解與計算都變得非常直覺。在沒有音分值的時代，計算音程關係或者研究音律，都牽涉到很複雜的計算，這是因為聲音頻率的變化是比例級數，每個音高的漸次上昇下降都需要以乘法或除法計算，所以研究音律必然牽涉高冪次的數學運算，對一般人來說並不容易。 音分值的聰明之處在於它運用log（對數）將冪次關係化為線性關係，因此原本的比例級數變成一種差和級數，使得大多數人都可以直覺理解，並且可以用簡單的加減法來計算音程。 讓我們再看一次先前讓人退避三尺的圖一音律，但這次用音分值來表示，是不是比起以分數表示友善多了呢，更加一目了然，很容易可以看出音與音之間的距離，而且其中的數字還可以直接加加減減，對想要研究音律的人實在是再方便不過了。

圖三：以音分值表示音律（製圖：鄭羽芝） 有了以上的基礎知識，我們就可以比較輕鬆地進入音律世界，著手解決製造音階時碰上的難題。但讀者們請不要忘記，這樣的工具並不像我前述般簡略忽然間由某個天才所創造，而是累積許多前人的科學知識之後，在十九世紀中才慢慢發展出來的，在此之前並沒有如此方便又簡明的數學工具幫助音樂家思考，一般音樂家只能以誤試法摸索，並且以不甚精確的口語描述。腦筋很好的音樂家（因為頭腦很好，他們也多身兼科學家、天文學家、數學家等）則會留下一些難懂的數學算式，不甚有助於旁人理解他對音律的洞見。直到音分值的普及應用，一般音樂愛好者、研究者，才得以使用此工具來理解與發展新的音律。 我們今天有這些知識實在比古代音樂家幸運得多，不僅可以用自己的感官去感受音律，還可以用理性的方式去理解。比如平均律發明之初因為和聲不乾淨而不被音樂家接受，那到底是多不乾淨呢？純大三度的音程是386 cent，與平均律大三度400 cent相差14 cent之多，此距離對古代音樂家是僅知其然而不知所以然，他們只能說「和聲很濁，不喜歡」，今日我們不但可以說和聲不純，還能清楚說出其不純的程度，更進一步還能自己設計新的音律來規劃和聲的純淨度。這種音樂中的理性面相，影響力其實不亞於音樂的感性面向呢！